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Supposons que l'on ait les équations 
Pi = OnPa + 62Po + + 0,P,, 
Q:=— dqu + Gaga + + + 0Qrs 
dans lesquelles les lettres 6, 0’ désignent des fonctions des para- 
mètres &. D'après la formule (5), on obtient : 
r 
» Pig = 7. > P:;6;:; 
ve 91 
puis 
RTE ° 
Bi; =—= 07. 0;; 
il résulte de là que les systèmes (p, , Pas. P,); (Qu > Jos ++ Q,) SONt 
contragrédients. 
Inversement, on vérifie que si les quantités (p4, Po, … p,) et 
(Qu> Q2s . Q,) Sont contragrédientes, la fonction 
Pi Qi + Poe € ee + P;Qr 
est invariante. 
Ainsi, toute fonction invariante est la somme des produits des 
termes correspondants de deux systèmes contragrédients, et reci- 
proquement. 
APPLICATIONS. — Ï. Les coefficients a, MA d’une forme /, et, par 
suite, les coefficients a, d’une forme semblable, sont contra- 
d? 
grédients aux dérivées 7, — ER d'une fonction invariante o quel- 
conque ($ 11); par conséquent, la polaire Dar d'u.” oo - est 
invariante. 1 
De même, les variables x, et de variables ne y, sont 
contragrédientes aux dérivées © 7 la polaire y de ? est invariante. 
D'après ces résultats, les aus quelconques d’une fonction 
invariante sont invariantes. (Voir aussi $ 4.) 
Soient f’, f',… des formes semblables à f; si on remplace les 
coefficients de f par les coefficients de f + ef” + &”f" +», les 
multiplicateurs des produits de £’, e”, … dans la fonction ç modi- 
