(22) 
fiée sont des polaires invariantes. On obtient un résultat analogue 
en remplaçant les variables x par x + ey + +: (*). 
IT. Soient o, o deux fonctions invariantes exprimables par 
P = Pig Æ Poe Æ °° + P;Q) 
g = Pig + Pie + ee + Dir 
dans les conditions indiquées pour la formule (2). Les quantités 
(g), (g') sont contragrédientes aux mêmes quantités (p); par 
suite, les systèmes (a » 2» q,) eË (qr» > … q.) sont cogrédients 
enire eux. 
Remarque. — D'après ce qui précède, toute fonction in variante 
permet de déterminer des systèmes contragrédients. 
Considérons, par exemple, le produit de polaires 
Al HOAN AE 
Tax? is die 
dans lequel y, … a',.… désignent des variables et des coefficients 
qui ne sont pas compris dans la fonction invariante quelconque o. 
Les produits 
hi, 
: home ES 
ul 
VE CC] Yn +0 Cl ee or D PE 
de \la dé \/a de \Ef d? \E 
Fpù ... ne .. TRE en cu ES ee LL] 
dx, dx day di da a 
sont contragrédients, si l’on prend 
À 
HIT hi, ho die TERRE ï 
Il résulte de là ($ 10) que les produits 
et 
un h ai 
MB ah 
A MPG He Re 
sont contragrédients cles dérivées 
d'So 
Fe Ke “ka pe h h k 
dx; ‘dx? … da} 
Fe 
(‘) Cette propriété des polaires est due à AronxoLn. (Journal de Crelle, 
t. LXII, p. 312.) 
