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D'après cette formule et d'après les équations (4), la transfor- 
mée d’un produit ®, par la substitution S,, est égale à @.<7* 
[voir formule (1)]. Semblablement, une fonction isobarique g, 
de poids mi, m:, .… n,, Se reproduit multipliée par se quand on 
effectue la substitution S,, (k = 1, 2, … n). 
Réciproquement, une fonction g est isobarique et de poids 
Tus Tes Ts Quand sa transformée par la substitution S, est 
égale à g.e”*, pour h— 1, 2, … n. Cetie propriété se déduit 
immédiatement de l'énoncé précédent, si l'on observe que toute 
fonction est une somme de fonctions isobariques. 
L'expression symbolique normale g,, de g a pour transformée 
G,,, l'expression symbolique normale de G ($ 7). En rapportant 
les transformées à la substitution S,, nous écrirons : 
G — e7*g, Gi, x En Ua 4 R,, (6) 
R, désignant un certain reste. Les fonctions G;,, g, étant des 
expressions symboliques normales, sont symétriques par rapport 
aux systèmes de symboles équivalents; d'après sa valeur, la 
fonction R, jouit de la même propriété; R, est ainsi une expres- 
sion symbolique normale. D'après la première des équations (6), 
on a R,—0; on doit done avoir R,— 0 ($ 7), et par suite 
G, — <°* 9. Il résulte de là que lexpression symbolique normale 
g., d’une fonction isobarique g, est isobarique et des mêmes poids. 
Réciproquement, si une expression symbolique quelconque g, 
est isobarique et de poids Ti, T2, .… m,, 0 en esi de même de la 
fonciion effective g. En effet, si pour la substitution S, on a 
G,— € *9,, on a aussi G — &"g. 
Remarque. — Pour une fonction symbolique g, de poids 
A dE qe DEN E 
dg, AN 
De HN 2 = Ts (7) 
i ÿ Ü & 
rm da; Ci dx; 
la première sommation doit se rapporter à tous les coefficients 
symboliques; la seconde, à toutes les séries de variables. La 
formule (7) résulte de l’équation (3), moyennant le changement 
de notation introduit par les coeflicients de formes linéaires ($ 1). 
