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suffisent pour caractériser les fonctions invariantes o. D'après la 
formule (2), o est une fonction isobarique, de même poids + pour 
tous les indices ($ 21); l'équation (5), relative à S,,, est équi- 
valente à la condition (4, l{)e — 0 (voir $ 25). Par suite, une 
fonction © est invariante quand elle est isobarique et de même 
poids x pour tous les indices 1, 2, ..n et quand elle satisfait 
‘aux équations 
(MOD NUE 10) 
Ces conditions sont surabondantes; en effet, les formules 
(h, D) o—=0, pour À < I, sont réductibles aux formules (h, D g=—0, 
où l’on a À > L, parce que la fonction o a le même poids pour 
tous les indices; d'autre part, les équations (h, l)@=—0, pour > l, 
se déduisent des équations 
Ra +1,i)p—0, (i—1,2,..n —1) 
(voir $$ 25 et 27). Nous obtenons ainsi ce théorème : Pour 
qu’une fonction © soit invariante, il faut et il sujjit qu’elle satis- 
fasse aux équations (i + 1, i)o — 0 et qu’elle soit isobarique et 
de même poids pour tous les indices. 
30. Comme application, on peut établir la proposition sui- 
vante : 
Une fonction g des éléments est invariante quand elle se repro- 
duit à part une constante, après une substitution linéaire quel- 
conque S. ; 
Conformément à l’énoncé, nous écrirons : 
CHE 
8 étant une fonction des paramètres de la substitution S. Nous 
pouvons toujours écrire g comme somme g' + g” + … de fonc- 
tions isobariques ; nous désignerons par x;, x’, … les poids de 
g'; g”, pour l'indice :. 
(‘) Les équations aux dérivées partielles des fonctions invariantes ont 
été obtenues par M. Cayey (Philosophical Transactions, 1854; Journal de 
Crelle, t. XLVII). 
