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On peut encore établir la proposition suivante : une fonction 4 
est semi-invariante, quand sa transformée pour la substitution S: 
ne diffère de 4 que par un facteur. 
Il est d’abord visible que 4 est une fonction isobarique ; de 
plus, si lon réduit la substitution S: à S,,,,;, on a : 
m=XiteXu, m=X, (ki), 
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SL 1)" Ÿ + 
D'après l'énoncé, W doit être le produit de 4 par une quantité 
dépendant de «; les différents termes de l'expression indiquée 
pour W, ont des poids différents par rapport aux indices i, à + 1: 
on doit done avoir (à + 1, i)y — 0. En conséquence, 4 est une 
fonction semi-invariante. 
Remarque. — Nous avons vu que si une fonction isobarique 
satisfait à l'équation (h, !)— 0, la différence des poids pour l'in- 
dice L et pour l'indice À ne peut pas être négative. 
La fonction 4 est solution des équations (2 + 1, i) — 0 ; par 
conséquent, Si ti, To» -., n, SON les poids d’une fonction semi- 
‘invariante, on a 
TN RS 0, Too TS 0, 0 ur Eu Tin S 0, . Hp Ta > 0. 
34. Soit (e), un groupe d'éléments comprenant certaines 
séries de variables et de coefficients; nous désignerons par les 
lettres 9, des fonctions qui dépendent seulement des éléments du 
groupe (e); nous représenterons par les lettres g', des quantités 
indépendantes de ces mêmes éléments. 
Écrivons une fonetion semi-invariante sous la forme 
Ÿ = gigi + 9292 + <+ + 9,95 
chacune des quantités 9, g' est nécessairement isobarique, et l’on 
peut supposer que le nombre r des termes est le plus petit pos- 
sible : ainsi, il n'existe aucune relation linéaire entre g, , go, ..…, 9, 
