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36. Les quantités symboliques sont des fonctions des coefii- 
cients de formes du premier degré seulement; par conséquent, 
pour obtenir l’expression des fonctions semi-invariantes symbo- 
liques, nous aurons à rechercher l'expression effective des fonc- 
tions semi-invariantes y’ de formes du premier degré. 
Désignons par 4”, une fonction linéaire par rapport à des 
séries de variables et à des séries de coefficients de formes du 
premier degré : il existe toujours une fonetion d”, réduetible à d” 
quand on identifie certaines séries d'éléments. Pour déterminer 
complètement la quantité 4”, nous l’assujettirons à la condition 
d'être symétrique par rapport aux séries d'éléments qui doivent 
être identifiées entre elles. La transformée Ÿ"' de la fonction 4” 
ainsi déterminée, est évidemment symétrique par rapport aux 
mêmes éléments. 
Soient x, , >, …, x, les poids de la fonction semi-invariante d”'; 
nous aurons, pour la substitution S, 1 
(7 
ww" — aa Le az AURAI (à) 
écrivons dans les mêmes conditions : 
y’! — a aa U an .Y"+R, (6) 
R désignant un certain reste. En même temps que 4” et W”, le 
reste R est symétrique et linéaire pour les éléments que l'on doit 
identifier pour réduire 4” à d'; quand on effectue cette réduc- 
tion, la fonetion R s’annule, ainsi qu’il résulte des équations (5) 
et (6); par suite, R doit être nul dans la formule (6), et l'on a 
Y = ojiag  a", 
en rapportant la transformée Ÿ” à la substitution S,. Par suite, 
toute fonction semi-invariante y' de formes linéaires se déduit 
d’une fonction analogue 4” de mêmes poids, linéaire pour des 
formes du premier degré et pour les séries de variables : on 
obtient L' au moyen de 4”, en identifiant certaines séries d’élé- 
ments. 
