Le Ex, 
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37. Supposons que la fonction semi-invariante 4” se rap- 
porte à M séries de variables x1, 2, …, et à N formes linéaires 
a, b,, .… L, … Nous représenterons par 0, d,, d, ... 0,, les 
déterminants d'ordre 1, 2, 5, .… n, formés au moyen des 1, 2, 
3, .… n premières colonnes du tableau 
n°? 
ARC ae 
bib b,, 
DR AS ER ETES 
De même, nous représenterons par ®%, d,, … 0, 0,4, les 
déterminants d'ordre n,n — 1, … 2, 1, formés au moyen des 
n, n — 1, … 2, 1 dernières colonnes du tableau des variables 
LE MAIDEN CS 1 | 
LAN LD REED 
n°? 
n°9 
Nous démontrerons le théorème suivant: La fonction Ÿ” est 
exprimable comme somme de produits de facteurs dy, da, .… 9 
n > 
d, D, … 9, ,, et de formes linéaires telles que a, : chacun des pro- 
duits contient x; — ñ;,, déterminants d, ou d, (i—1,2,...n — 1). 
Cette proposition se vérifie immédiatement pour M — 0, 
N=— 1, car le seul semi-invariant du premier degré pour la 
forme a, est a, c’est-à-dire un déterminant d,. Pour établir le 
théorème dans le cas général, on le supposera exact dans le cas 
de M—p, N— », et on le vérifiera pour M =, N = +1 
et pour M=—p + 1, N— ». 
Supposons que d” se rapporte à M — y séries de variables et 
à N—» + 1 formes linéaires comprenant la forme a. Nous 
écrirons 
L44 
UT — 4,59 Re a, 191 mOn mi 9,1 5 5 (7) 
a, est ainsi le terme principal de 4”, par rapport au groupe des 
coefficients de forme a. D'après ce qui précède ($ 54), o est 
une fonction semi-invariante analogue à 4”, pour laquelle on a 
