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cables à d”’— 4, dans le cas de r > 1; il existe une fonction 
semi-invariante 4, telle que l’on peut écrire 
11 M re " n rr 
D WW — dia = 909 E dy-301 + ee Æ A0, 5. 
En continuant de la même manière, on obtiendra une équa- 
tion telle que 
D ee Ce Ve a 0 
D’après les résultats précédents, chacune des fonctions semi- 
invariantes d,, L._,… V, est une somme de produits de formes 
linéaires et de déterminants (9), (9’) : dans chacun de ces pro- 
duits, les facteurs 9,, d; sont en nombre tr; — x,,,, (0 Ki < n). 
La fonction L” jouit de la même propriété. Par suite, le théorème 
général que nous avons énoncé, se trouve vérifié pour M— p, 
N — » + 1, quand on le suppose exact dans le cas de M — y, 
N— »; on le vérifie pour M—p + 1, N —», en suivant une 
méthode toute semblable : il faut alors considérer, au lieu de 
l'équation (7), le développement de la fonction semi-invariante 4” 
suivant les variables (x) d’une mème série. 
D'après la méthode que nous avons suivie, le théorème 
énoncé ci-dessus se trouve complètement établi. 
38. Toutes les fonctions semi-invariantes d’ de formes 
linéaires, et par suite toutes les fonctions semi-invariantes sym- 
boliques, se déduisent des fonctions 4” moyennant l'identification 
de certaines séries d'éléments ($ 56); par conséquent, les fonc- 
tions semi-invariantes V', de formes linéaires, et les fonctions 
semi-invariantes symboliques %,, sont des sommes de produits de 
formes linéaires et de déterminants 
CPC SRE CNT Ce 
tels que 
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