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chacun des produits contient x,—x;,, déterminants d,,9,(0<i<n), 
SI Ty; Te, +. Te, SON les poids de y’ ou de 4, ; on observera encore 
que 7, est la différence entre le nombre des facteurs d, et le 
nombre des facteurs d, compris dans chacun des produits. 
En particulier, un semi-invariant symbolique est une somme 
de produits de déterminants d,,d,, … d,; chacun des produits 
contient tr; — %;,, facteurs d(i— 1, 2, … n—1) et x, facteurs 0. 
Une fonction invariante est une fonction semi-invariante de 
même poids pour tous les indices : par conséquent, une fonction 
symbolique invariante est une somme de produits de formes 
linéaires, de déterminants d,, tels que (H a,, b., … 1,), et de cova- 
riants identiques d, tels que (+ x1,, x2,, … xn,):; la différence 
entre le nombre des facteurs d, et le nombre des facteurs d,, est 
égale au poids de la fonction invariante (*). 
Remarques. — 1. Au moyen de n — 1 séries de variables, on 
ne peut former aucun déterminant d, ; il résulte de là que le poids 
d’une fonction invariante à n — 1 séries de variables ne peut pas 
être négatif. 
IL. Les covariants identiques sont définis par la condition 
d'être indépendants des coefficients de formes algébriques. 
D'après le dernier énoncé, tout covariant identique est une somme 
de produits de déterminants 9°, tels que (+ x1,, x2, … xn,). 
ITT. Toute fonction invariante est une somme de covariants 
identiques imultipliés par des fonctions invariantes de poids 
posihf ou nul, représentées symboliquement par des agrégats de 
formes linéaires et de déterminants d, analogues à (+ a,, b,, … 1). 
IV. D’une fonction invariante de formes linéaires (ou symbo- 
lique), on déduit une fonction analogue en remplaçant toutes les 
séries de coefficients et de variables, respectivement par des séries 
de variables et des séries de coefficients de formes linéaires. 
Cette remarque permet de retrouver le procédé de trans- 
mutation des fonctions invariantes, qui a été indiqué au para- 
graphe 19. 
(*) Comp. CLesscx, Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen 
(Journaz De CRELLE, t. LIX). 
