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Ces équations sont tout à fait analogues aux équations (2), et 
elles s’obtiennent de la même manière; elles prouvent que [n,.,] 
est un semi-covariant identique de seconde espèce ($ 41). 
Or, tout semi-covariant identique de seconde espèce, qui a 
pour poids — Ty, — T,, …, — %,, se déduit de 
in AO Ent on ONE ENT 
au moyen d’une opération polaire O, relative aux variables; 
nous aurons, d’après la formule (6) : 
[u]= 0, [87, 
et d’après l'équation (5”) : 
O, [P] = Li] pi + 0, [8]. po + ++ + O, [ui]. pr. (8) 
On déduit des formules (7) et (8) : 
[PT — 0, [PJ = [ui] pa + + + [ro] Do + era] De + + + [me] pr, 
en représentant par les lettres n’ des fonctions analogues à 
nd ee 
La fonction invariante [P] est donc égale à la polaire O, [P,] 
augmentée de la fonction invariante de poids zéro, [P] — O, [P,], 
qui est exprimable au moyen de r — 1 termes au plus (*). De 
la même manière, [P] — O, [P,] est la somme de deux fonctions 
invariantes : l’une est analogue à O, [P,], l’autre est de poids 
zéro et est exprimable par r — 2 termes au plus. En continuant 
ainsi de suite, on trouvera que [P] est une somme de polaires 
analogues à O, [P,]. 
La quantité [P] est la fonction invariante la plus générale, de 
poids zéro, relative aux variables x1,x2, …, xn. La fonction 
(*) Le plus petit nombre de termes nécessaires pour exprimer [P]—0,;[P;] 
est précisément égal à r — X; ce résultat n'étant pas actuellement essentiel, 
nous nous bornons à le signaler : on pourra l’établir, soit directement, soit 
comme application des propriétés que nous indiquerons dans la suite, pour 
les covariants primaires. 
