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invariante | P,], qui est également de poids zéro, a pour source un 
semi-invariant p,; [P,] est ainsi le produit de (+ 1, x2, … xn,)” 
par un covyariant primaire y (voir $ 46). La polaire O, [P.] 
s’exprime comme somme de polaires de (+ x1, x2, … xn) ”, 
multipliées par des polaires de y relatives aux variables ($ 3). 
Les polaires de (x1,x2....æn,) " qui sont à considérer, doivent 
seulement contenir les variables x1, x2, … xæn; elles ne diffèrent 
de (+ xl, 22 … œæn,)" que par des facteurs numériques. La 
fonction O, [P,] est ainsi le produit de (+ x1, x2, … «æn,)"" par 
une polaire de y. D'après ces considérations, le dernier résultat 
que nous avons obtenu peut s'énoncer comme il suit : Toute 
fonction invariante de poids zéro, aux variables x1, x2, …, xn, 
est une somme de puissances du délerminant (Æ x1, x2 ..xn,) 
multipliées par des polaires de covariants primaires (*). 
53. Soit +, une fonction invariante de poids zéro, relative à 
des formes linéaires et aux variables x1, x2, .…, «n; d’après le 
dernier théorème, nous pouvons écrire : 
n = > Ébrlir2 n NO, (9) 
en représentant par y, un Covariant primaire et par O, une 
opération polaire relative aux variables x&1, #2, …, æn. 
Cela posé, désignons par ® un produit dont les facteurs sont 
de deux espèces : 1° des formes linéaires aux variables y1, 
y2, …, yk, différentes de x1, x2, …,xn; 2° des déterminants de 
formes linéaires, tels que (Æ a, b, … 1). 
Nous avons, d’après l'équation (9) : 
P.p— > (lis on) D 0): 
en prenant ®. {= ® , NOUS pouvons écrire : 
®. Pi—= Ÿ Cr ru) 07), (10) 
(*) Pour abréger, nous comprenons sous la dénomination de polaires les 
polaires relatives aux variables, 
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