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Ainsi : 
P=n 
(+ x) (1 + Ex) (A + Lx) = 1 + ÿ T, (4) 
p=t 
Remarques. — 1° D'après la forme du premier membre de 
l'égalité (2), T, est un polynôme entier, à coefficients entiers. 
2° Conséquemment, la fraction contenue dans T, est réduc- 
üble à un semblable polynôme; ou, ce qui est équivalent (avee 
un changement de lettres) : 
RE 
( ce) an Deer e Re 
: (t— x)(1 — à) (1 — x). (1 — x?) 
9° Ce théorème, qui me parait fort remarquable, n’est pas 
nouveau non plus : il est énoncé et démontré dans l'A /gébre de 
Bertrand (1° édition). Il en résulte ces deux-ci : 
Parmi les racines de l'équation 
(ae — 1) (ae 1). (a 1) — 0 
se trouvent toutes celles de l'équation 
(x — 1) (x? — 1). (x? — 1) = 0; 
Si N est un nombre entier, la fraction 
(N° — 1) (NF 1). (NP — 1) 
EN — 1)(N°— 1)... (IN — 1) 
est reductible à un nombre entier. 
4° Si l'on suppose x = 1, n — w , et qu'on remplace t par q 
(q < 1), l'égalité (2) devient 
241 + g}A + gif + qi (1 + g).. 
nes) 1) (ge) (lg) 
laquelle est due, je crois, à Jacobi. 
= | 
