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réunis dans son Traité de calcul différentiel et intégral (1). M. Ber- 
trand a aussi présenté une remarque importante sur un cas où 
l'analyse de Cauchy est en défaut. 
La méthode de Cauchy doit son origine aux travaux d'Ampère 
sur les équations aux dérivées partielles. A la même époque que 
Pfaff, Ampère (?) crut devoir suivre une voie différente de celle 
qui avait été abordée par les géomêtres précédents. Il chercha 
d'abord comment les différentiations successives d'une équation 
aux dérivées partielles, à deux variables indépendantes, intro- 
duisent de nouvelles fonctions arbitraires, dérivées des fonctions 
arbitraires contenues dans l'intégrale. S'appuyant sur ces re- 
cherches, il démontra, d’une manière générale, que l'intégrale 
primitive d’une équation aux dérivées partielles doit eqntenir 
autant de fonctions arbitraires qu'il y à d'unités dans l’ordre de 
cette équation; en outre, ces fonctions arbitraires doivent être 
indépendantes les unes des autres. Il montra aussi que cette con- 
dition n’est pas indispensable, lorsque l’intégrale est représentée 
par une série contenant une infinité de fonctions arbitraires dé- 
rivées les unes des autres, et pouvant servir à l'élimination. I a 
donné, le premier, une théorie générale de l'intégration des 
équations du second ordre non linéaires, d’une forme particu- 
lière, question que Monge (5) avait déjà traitée, mais au point 
de vue géométrique, par une méthode qui manque de généra- 
lité. Ampère réduit l'intégration de ces équations à la recherche 
d’une solution d’un système de trois équations différentielles 
() Tome II, p. 624. Paris: 1867-1868. — Voir aussi les Comptes rendus 
des séances de l Académie des sciences ; octobre 1861. 
(?) Ampère, Considérations générales sur les équations différentielles par- 
tielles, JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 17e cahier. — Ibid., Mémoire 
sur lintégration des équations aux différentielles partielles, JOURNAL DE 
L'Écoure Porvrecunique, 18 cahier. 
(°) Application de Panalyse à la géométrie. 
