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2. Une équation aux dérivées partielles est du premier ordre, 
lorsqu'elle ne renferme que les dérivées partielles du premier 
ordre de la fonction inconnue. Nous l’appellerons équation pri, 
mordinale. 
D'après cela, la forme la plus générale d’une telle équation est 
BCE ES oo To 0 0e D) ST NS 0e (fi) 
Qi» Ga» + Q,» tant les variables indépendantes, z la fonction 
inconnue , Pi, Pa, - -. p,, les dérivées partielles du premier ordre 
de cette fonction, prises par rapport à ces variables, telles que 
dz 
Pi dg. 
5. Une équation primordinale est linéaire, lorsqu'elle ne ren- 
ferme les dérivées p,, pa, ... p, qu'au premier degré, les quan- 
tités Z, Q1» das -.. Q,> pouvant d’ailleurs y entrer d’une manière 
quelconque. 
4. Intégrer l'équation (1), c'est trouver la valeur la plus géné- 
rale de la fonction z, telle qu’en la substituant, ainsi que ses 
dérivées partielles dans cette équation, celle-ci devienne une 
identité. Cette fonction inconnue s’appelle lintégrale générale de 
l'équation primordinale. 
5. Avant de donner des détails sur les diverses espèces d’in- 
tégrales, et sur leur degré de généralité, nous énoncerons le théo- 
rème suivant que l’on admet généralement sans démonstration : 
TuéorÈme. — Une équation quelconque aux dérivées partielles 
admet toujours une intégrale renfermant une ou plusieurs fonc- 
tions arbitraires dont le nombre est d'autant plus grand que 
l’équation est d’un ordre plus élevé. 
On en trouve une démonstration dans le Traité de calcul 
différentiel et intégral de M. Timmermans, professeur à l’'Uni- 
versité de Gand (*). Elle repose sur le développement en séries; 
() Timmermans, Trailé de calcul différentiel et de calcul intégral, pp. 456 
et suiv. Gand; 4860. — Dunamez, Cours d'analyse, t. M, p. 178 ; 1847. 
