(5) 
mais elle manque de généralité : c’est d’ailleurs le seul moyen 
que l’on ait jusque maintenant de démontrer l'existence d’une 
intégrale d’une telle équation. Cette proposition a aussi été 
démontrée par Ampère (*) : sa solution exige beaucoup de pré- 
liminaires que nous ne pouvons introduire ici. 
6. Lagrange a nommé intégrale complète (**) d'une équation 
primordinale non linéaire à n variables indépendantes, une équa- 
tion entre les variables indépendantes, la fonction z de ces 
variables, qui satisfait à l'équation proposée et renferme n con- 
stantes distinetes, sans compter la constante arbitraire qui est 
toujours ajoutée à la fonction z et dont nous ne parlerons pas. 
Cette intégrale, qui est la plus simple, sert, comme nous le 
verrons plus loin, à déterminer toutes les autres; elle a la forme : 
ARE TA NOTA Tee ET IN PEN 0) 
di, G,-..4,, étant des constantes arbitraires. 
En effet, si nous différentions cette équation par rapport à cha- 
cune des n variables q1, ge, …q,, nous obtiendrons n équations : 
et, en y joignant l'équation (2), nous aurons n + 1 équations 
entre lesquelles nous pourrons éliminer les n constantes arbi- 
traires ; on trouve ainsi une relation entre z, 4; Qas + ++ Qns Pis Ps 
qui sera l'équation proposée. 
7. Une intégrale complète n’est pas cependant l'expression la 
plus générale de la fonction qui vérifie l'équation proposée. Nous 
avons supposé au numéro précédent Que &y, Go, ... @,, Sont des 
constantes arbitraires, et nous avons déduit l’équation (1) de la 
combinaison des équations (2) et (5). Or, rien ne nous empêche 
de supposer que a, &,...@,, au lieu d’être des constantes, 
(‘) Aurère. Considérations générales sur les-inlégrales des équations aux 
différentielles partielles, Journar pe L'Écoe PoLyrEcuniQue, 7ecahier, p.585. 
(*) M. De Morgan l'appelle intégrale primaire. De Morcan, On some points 
in the theory of differential equations , TRANSACTIONS oF THE CAMBRIDGE PHI- 
LOSOPHICAL SOCIETY, t. IX, p. 555. 
SA 
