On üre de Îà : 
df df df 
AN ds dq2 dqn 
Pi df” 2e af” Q Senna 
dz dz dz 
substituant ces valeurs dans (1), on trouve : 
oo df 
dd 
F 060 Re 0 == cp! 
Jus as. Uno df df af 0. (21) 
dE dz de 
Cette équation est de la forme 
(61) 
GR QUE GUN) | 
EN , , = 0; 
dj  dq do z 
10 (EE ce Qno ÆZs 
elle renferme, comme on voit, n + 1 variables indépendantes 
Gi» os ce I,» 2, et les dérivées partielles du premier ordre d’une 
fonetion f de ces variables indépendantes : mais la fonction in- 
connue f n'y entre pas explicitement. 
La transformation de l'équation (1) en (21°) est évidemment 
toujours possible; par conséquent, le théorème est démontré. 
Remarque. — Jacobi a employé (*) une transformation plus 
simple; il pose - 
V étant la nouvelle fonction inconnue. Mais M. Bertrand a 
reconnu (**) que cette transformation, trop parüculière, n’est 
pas applicable dans la plupart des cas. C’est pourquoi il est pré- 
férable de laisser complétement arbitraire la relation entre les 
deux fonctions inconnues. 
(*) Jacozr, Nova methodus integrandi, ele. 
(**) Lecons de M. Berrranp au Collége de France, 1852, 1855, 1868. 
Cette remarque a été faite aussi par M. Booze, On the differential equalions 
of dynamics, Paiosopmicaz Transactions; 1865, p. 489. 
