(25) 
en vertu de (35), remplacer l'équation (52) par la suivante : 
(2) dp: .. Rial dp; É) dp; 
= ne LE Gr 
dq;/ dp::1\ dqu dp, dr 
dqx 
ou bien 
le théorème est done démontré pour ? — i. 
En outre, si k — ?, on a une identité : 
Lo) _ fe), 
dq: dql_ 
donc, si le théorème est vrai pour # > ietk > 6, il le sera encore 
pour à —t, k—1. Par conséquent, s'il est vrai pour ? et k 
égaux à i+1,i+2,...n,il le sera pour ?’, et Æ égaux à 4, i +1, 
i+2,...n. : 
Mais, si l'on suppose i — n — 1, et par suite, £— n, il vient: 
Be | dp, Le dp, à (re) F dpy-1 He 
dqn-1 dp, \dq, 
ou 
is (re | <= =) — (. 
du dq, 
L'équation (55) étant vérifiée pour d—n—1, k=n>n—1, 
c'est-à-dire pour > n—, k>n—, sera vraie pour  —n—9, etc. 
Elle existe done pour in — 1, n —2,.. 5,2, 1, k étant > à. 
Il résulte de là qu’en général, les équations comprises dans la 
formule (51) expriment la condition d’intégrabilité de l'expres- 
SION P1dQ1 + Podga + ++ + PrdQn. 
27. Cela posé, occupons-nous maintenant de la détermination 
des n quantités p;, Po, … p,, satisfaisant à la condition que 
Pidqi + + +p,.dq,, soit une différentielle exacte (n° 20). 
La quantité p, pouvant être caleulée au moyen de l'équation 
proposée 
F(qus Q23 se Qu Pis Pas Pa) = 0, + : + + (25) 
