(9%) 
11. On conclut de là le théorème de Monge : 
TuéorÈme. — Si f, — a, fo — b, sont deux intégrales satisfui- 
sant aux équations 
dy — m'dx — 0, 
16 
Rm'dp + Tdg — Um'dx.— 0, (16) 
Péquation 
hey (a 
sera une intégrale de la proposée (11). 
Le système (17) donnera de la même manière une deuxième 
intégrale de (11). 
12. Remarque. — Il est d’ailleurs facile de voir que, si l’on 
remplace dans (21) dp et dq par leurs valeurs (19), et si l’on 
égale à zéro les coefficients de dx et de dy, il vient : 
Rim'r + Ts — Un’ + Km —0, 
Rm's + Ti — K —0. 
Éliminant K entre ces deux dernières, on a : 
Rm'r + Rm°s + Ts — Um’ + Tm't — 0, 
ou, en vertu de (15), 
m'(Rr + Ss + Ti —U) —0. 
15. Cas particuliers (*). — 1° Lorsque R — 0, l'équation (11) 
devient : 
SSI TP ee en Len) 
Dans ce cas, l'équation (15) qui donne, en général, 
S+V/S_Z4RT 
M = —  —— ;, © 
2R 
(25) 
(") Ces cas particuliers n’ont pas été examinés par Moncr, ni par aucun 
géomètre que je sache. Quoique les équations qui y correspondent puissent 
être traitées par d’autres méthodes, il est cependant très-utile de montrer 
comment on peut éviter les résultats illusoires que donne alors le procédé 
de Monces. ) 
