(117) 
Ce sera donc la condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe 
une intégrale du premier ordre de la proposée. 
Cette condition se ramène facilement à la suivante (*) : 
dH  dK dK d&G dG  dH\ 
G———) +H—— —)+K 
dx -dz dg dx 
(‘) On peut le démontrer de la manière suivante : 
L’équation (62) donne 
dF aF 
— = 1G, — 1H ; 
dq dz 
en outre de la formule 
dF 
EE, =——)Kk 
1 dx 2 
on déduit : 
dr, 4 dF dà dk d (16) K d) à dk 
dq  dxdq ai dau dx dq dq 
G À K 
dx dx aq dq 
dF dE dK d(H d dK 
go, dE dOH) KA, dE 
ds dd  dz dz dx dz dz 
M d) À dK 
NA CO OR Le 
dx dx dz dz 
Par suite, la condition (64°) nous donne : 
dG dk 
1H E — a) + 1G 
dq 
dx dz 
7 
À CS 
Mais de (62) on conclut évidemment 
ou bien : 
d} di H  dG 
dz dq 
par conséquent, l'équation (66) devient, en divisant par ?, 
dG dk dK dH dH dG 
ne) GT) x (TT) = 
dx  dq dz dx dq ds 
ce qui est l'équation (65). 
os 
dK dd d d 
ee +k(or ne). 
dx GUN) 
(65) 
(66) 
