(118) 
51. Lorsque cette condition n’est pas remplie, on devra opérer 
de la manière suivante : 
Des équations (65) et (64) on déduit les relations : 
d 
2= jf Le, u, = 
" (67) 
lesquelles sont évidemment équivalentes à la proposée (*). De 
plus, remarquons que la quantité w doit être telle que les deux 
équations précédentes soient compatibles ; on doit done avoir, en 
égalant à la seconde la dérivée de la première prise par rap- 
port à y, 
df df du 0 df du 
dy du dy du dy — f(x, y,u,u)=0.("). . (68) 
En intégrant cette dernière, nous obtiendrons la valeur de « 
qu'il faut substituer dans 
4) (90h00) 
pour obtenir l'intégrale de la proposée. 
52. Remarque. — Il est facile de démontrer que l'intégrale 
de (68) ne peut contenir de fonetion arbitraire de x. 
Si l'on multiplie, en effet, les trois premiers termes par dy, 
il vient, en intégrant, 
df df df 1 | 
JE Dead sut (RUE 
En posant | 
v = f(x, y,u, uw’), 
(‘) On démontre facilement cette condition en substituant dans la pro- 
posée les valeurs de z, p, q, s, déduites des deux équations (67) ce qui doit 
donner une identité. 
("*) A partir d'ici, nous remplacerons, pour simplifier, © Te “ par w’, et 
par %,. Cette notation est employée constamment par M. ImscneNeTsky. 
