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on obtient, à cause de l'équation (68), 
d 
ED fab OC EUR 
dy 
Par suite, si l'intégrale de (68) renfermait une fonction arbi- 
traire de x, les quantités w, u/ ne seront pas indépendantes, et 
l’on devra avoir pus 
dfraf : af af © 
du du du'du 
Or, les fonctions w, u!,v, v,, étant inverses, on sait que 
a cl dfi 1 
dv du, dv, dd 
Mais comme, par hypothèse, le déterminant 
dE dF,  dF,dF 
do du, do du, 
est différent de zéro, ou de l'infini, il en résulte que le premier 
membre ne peut être ni nul, ni infini. 
Il s'ensuit que l'équation (68), considérée comme linéaire par 
rapport à R— U _ » ne peut servir à la solution du problème. 
99. Sapnien si cette équation (68) est linéaire par rapport 
à M — u}, et > la question pourra être traitée, comme nous 
one le voir. Obs d’abord que, si l'équation est linéaire , 
il faut que les fonctions fetf, soient linéaires par rapport au : 
ainsi, On aura 
f=Mu+N, fi=mu +n, 
M,N,m, n, étant des fonctions de x, y, u. 
L'équation (68) devient alors | 
du’ es dM }u dN  dN 
u 
g—— + hu HE =OMNTS + (69) 
