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d'où 
u—= (x + y) (y). 
. En égalant les deux valeurs de , on trouve : 
A XL + VE or X VE 
TO G+ye  GrpeO C+yro 
Par conséquent, l'intégrale générale de la proposée est 
Z—€@ Jnro Ÿ Ÿ (x) - [A enom L NLUN | xdy 
: (x + y)? (y) 
40. MÉTaope DE LEGENDRE. — Laeatie considère l'équation 
biordmale 
() 
r+Ss +Tt+ Pp+Qq+Nz—0. . . . (71) 
Il est parvenu (**), en désignant par "= et n les racines de 
l'équation 
MA ISM EE TE ON NME Ne (72) 
(‘) Cette équation différentielle peut être intégrée comme une fete 
linéaire du premier ordre. 
(‘*) Lecenpre, Sur l’intégration des équations aux dérivées partielles , 
Mémoires DE L'ACADÉMIE pes sciences, 1787; pp. 519 et suivantes. « Ces 
» résultats, dit LecENDRE, sont le fruit d'un calcul assez pénible dont je 
» crois devoir supprimer les détails, à cause de leur longueur. » Il est pro- 
bable que la marche qu'il a adoptée a été la suivante : il aura posé, par ana- 
logie avec la méthode de Mowce, l'équation m? — Sm + T = 0, de laquelle 
on déduitm+n—=S,mn= T ; en remplaçant dans la proposée et T par 
ces valeurs, on trouve : 
d?z d?z d?z d?z dz 
dz 
+M— +n + MN — + P — te 
dx? dxdy dxdy dy? dx ès, 
Les quatre premiers termes peuvent s’écrire sous la forme suivante : 
d | az dz dm LEUR d Da Le CE Ut CE CE 
| | D ME EE] re 
Ale amat mi enr dy dy. 
et alors par quelques transformations que l’on pourrait retrouver sans diffi- 
eulté, il sera arrivé aux équations (75). 
M. En. Comsescure a indiqué récemment un moyen de rétablir les détails 
supprimés par Lecenpre, Remarques sur un mémoire de Legendre, Comrres 
RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, 1872; p. 798. 
