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Pour que ces équations qui ne renferment que deux incon- 
nues m,n, Soient compatibles, il faut que l’on ait la relation 
RN° + SQ° + TP? — 4RST — PQN —0. () 
45. Lorsque cette condition sera satisfaite, les équations (77) 
nous donneront le système 
dx — mdz —0, 
dy — ndz = 0, . - (79) 
Rmndu + Sndp + Tmdq — Umndz = 0, 
auquel on devra ajouter 
dN = pdx + qdy + udz. 
De ces équations on pourra déduire trois intégrales 
DU, pa, p—A, 
et l'on aura pour l’une des intégrales premières de la proposée 
ea = Ÿ (pes gs). 
46. L'autre intégrale première se déduira de la même manière 
du système (79) dans lequel on remplacera #», n, par m', n!. 
D'ailleurs, l'intégrale générale s'obtient sans difficulté de l'une 
ou l'autre des intégrales premières par la méthode exposée dans 
la première partie. 
47. Autre méthode. — Des considérations analogues à celles 
(*) Cette condition qui résulte de l'élimination de m et n entre les équa- 
tions (78) se trouve très-facilement, en posant n = im, et en éliminant de 
la manière connue £ et m entre les trois équations résultantes. Cette condi- 
tion a été donnée pour la première fois par Euzer , dans le cas d’une équa- 
tion homogène. Eczer, Instilutiones calculi integralis, t. NT, p. 448. 
