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obtenues par la transformation de (85) : w, v, sont des fonctions 
de &,y,2z, p, q. Cela posé, cherchons quelle doit être la forme 
la plus générale de l'équation (83), pour que 
M (D) AN ne ASS (84) 
soit encore une intégrale. En d'autres termes, examinons la 
forme de l'équation du second ordre résultant de l'élimination 
de la fonction arbitraire o de l'équation du premier ordre (84). 
Si nous prenons les dérivées partielles de (84) par rapport à 
æ, Hs il Vient : 
re dir dre du de| du dv dv dv 
dx de? * ap nr me | 
du du du du d>{ du dv dv dv 
me gen [ge pe qe me | 
Ho d. À 
en éliminant > on obtient : 
du du du du due du eV dr dv 
+ + Dre) Ce era | 
du du du du dv dv dv dv 
=(F+s a ](R+Tr+ er a ] 
Or, en effectuant les opérations indiquées, on arrive à une 
équation de la forme 
Hr+2Ks ELU +M+N(rt—s)—0,. . . (85) 
dans laquelle les coefficients H, K,L, M, N sont des fonctions 
de x, y,2,p, q. 
De la manière dont cette équation a été obtenue, il résulte 
évidemment que toute équation de la forme (85) n’admet pas une 
intégrale du premier ordre de la forme (84) : cela ne peut avoir 
lieu que si les coefficients H,K, L, M, N vérifient certaines con- 
ditions (*). Cette équation (84) est alors appelée une éntégrale 
() Nous verrons plus loin quelle est la condition d'intégrabilité : nous 
la trouverons très-simplement en employant les notations de M. pe Morcan. 
