(HA) 
normaux. Une génératrice quelconque (c’est-à-dire l’axe du cercle 
osculateur) est donc représentée par 
a(XK—x)+b(Y—y)+c(Z—z)—=0, . . (12) 
u'(X— x) +b'(Y—y)+c(Z—z) —1. . . (105) 
Si, avec ces équations, on prend encore la dérivée de la 
seconde, savoir : 
'(X—x)+0b"(Y—y)+c'(Z—z)—=0, . . (80) 
le système de ces trois équations appartient à l'arête de rebrousse- 
ment de la surface polaire. 
65. SPHÈRE OSCULATRICE. Si l'on fait passer une sphère par le 
point M et par trois autres points M’, M”, M” de la courbe donnée; 
puis que l’on fasse tendre ceux-ci vers M, la sphère variable 
devient, à la limite, la sphère osculatrice S, déterminée par les 
équations 
(X— x) +(Y— y) + (Z—:}Ÿ=R(). . . (106) 
et ses trois premières dérivées : 
a (X—x)+b (Y—y)+c (Z—7z)—0, 
a'(X—x) +b (Y—y)+c (Z—z)—1, 
Q'(X — x) + D'(Y — y) + c'(Z — 7) — 0. 
Fig. 20. Ces équations déri- 
vées sont celles qui dé- 
terminent le point S 
(fig. 20) où la droite 
polaire CS touche son 
z enveloppe (64); donc 
le centre de la sphère 
osculatrice coïncide avec 
le point S de larète de 
rebroussement de la sur- 
face polaire. 
(*) Dans cette équation, X, Y, Z représentent les coordonnées du centre. 
