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plans tangents à 3. Mais le plan tangent en A, à cette dévelop- 
pable X, est tangent tout le long de la génératrice ABC; done les 
normales principales en À, B, C, aux courbes MA, MB, MC, sont 
parallèles entre elles ; et enfin : la trajectoire orthogonale d’un plan 
mobile P, menée par un point M de la surface Z, enveloppe de P, 
est la développante commune de toutes les lignes géodésiques tra- 
cées sur la développable >, et passant par le point M. 
404. Remarques. |. La dernière propriété peut être envi- 
sagée autrement. 
Soient, dans un plan P, un point arbitraire M et diverses 
droites MA, MB, MC, … Si le plan P, d'abord tangent en M à 
une développable >, roule sur cette développable : 1° chacune 
des droites données engendre une surface d’enroulement (*); 
2% le point M décrit une trajectoire orthogonale, T, du plan 
mobile ; 5° le lieu des points de contact de MA, avec ?, est une 
ligne géodésique, dont la transformée par développement serait 
MA (**) ; 4° ce lieu est donc une développée de T; ete. 
IL. Si la tangente MT, à la développée MA, roule sur cette 
courbe, de manière à prendre les positions M'T', MT”, … 
l'extrémité T, de la droite mobile, décrit la développante. 
II. Si un fil, dont l'extrémité À est fixe, est d’abord appliqué 
sur la courbe MM'A, et qu'il soit toujours tendu, l'extrémité 
libre M décrit la développante MP. | 
IV. En considérant la développante comme composée d’une 
série d’arcs de cercles, infiniment petits, on a 
arc MP— fe, 
0 
e désignant l'angle de contingence de la développée. 
(‘) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces. 
(‘*) Pour élucider ce point, qui n’est peut-être pas évident a priori, il 
suffit de la considération suivante. 
Soit un plan P, appliqué sur une développable ?, contenant une ligne 
quelconque ABCD. Pour détacher le plan, à partir de la génératrice cD, 
on effectue des rotations successives, autour des droites cC, dB, «A : la 
