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V. Si les géodésiques MA, MB ont même longueur : 
arc MP = f'se, , arcMQ = fs, arc PQ = fs (e, — €). 
0 Û 0 
L'intégrale est nulle lorsque les angles de contingence, £,, &, sont 
égaux ; et alors arc MP — arc MQ. 
405. SURFACE POLAIRE D'UNE DÉVELOPPANTE. Soient, comme 
ci-dessus (400), AMB une courbe donnée; APD l’une de ses 
développantes; PR la tangente à la développante; MC le rayon 
de courbure de la développée; ete.; PR et MC sont parallèles; en 
outre, le centre de courbure de la développante est la projec- 
tion Ï de P sur la rectifiante MG de la développée (400). Par 
conséquent, la binormale, en P, est parallèle à cette recti- 
fiante MG ; ou, ce qui est équivalent : 1° la droûte polaire de la 
développante est la rectifiante de la développée; 2° la surface polaire 
de la développante est la surface rectifiante de la développée. 
406. Suite. À une mème développante APD, correspondent 
une infinité de développées AMB, AM'B', AM”B”, … lignes géo- 
désiques de la surface polaire de APD (403). Les tangentes PM, 
PM', PM", .… respectivement équivalentes aux arcs AM, AM, 
AM”, … ont leurs points de contact situés sur la droite polaire 
de P. En outre, d'après ce que l’on a vu précédemment (66), le 
centre de la sphère osculatrice, en P, à la développante, est le 
point G où cette droite polaire, rectifiante de chacune des dévelop- 
pées, touche son enveloppe. De là, on déduit que le rayon de la 
sphère osculatrice est donné par la formule 
PG—s —9 Ë Sp iirin 
ligne ABCD, devenue plane, est AB,C,D,. Si maintenant on fait rouler la 
ligne aAB,C,D, sur ABCD, les points B,, G,, D,, … reprendront leurs 
positions primitives B, C, D; et chacune de ces positions sera un contact 
de X avec la ligne plane. 
