(9) 
4° S'adf= ad fx — du S fx" — dv S fr. 
Dans le second membre, la première somme est nulle; la 
.. , M . . not 
deuxième égale --. Ainsi déjà : 
x df[ = — du Ÿ fx! — = dr. 
Par la formule (3), 
; (14) 
done 
D xdf = — = [Ndu + Mdv]. (15) 
Rassemblant ces différents résultats, j'obtiens, au lieu de 
l'équation (9) : 
dv D'du 
Mdu  Ndu + Mdv 
ou 
Mdr° + Ndudv — MD°du° = 0. (16) 
Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure de la 
surface gauche. 
IV. Admettons que les génératrices, supposées orthogonales à 
la directrice AMB (III, 1°), soient les normales principales de cette 
courbe. Alors les cosinus {, #,n sont proportionnels à a’”,b"',c'" (*). 
De là résulte que 
R — D (nb — onc'}a" = 0. 
(‘) En effet, à cause de w — AM — 5, les cosinus directifs de la tangente 
MT sont a’, b’, c'; les cosinus directifs de la tangente voisine sont 
a'+a”’du, b'+b''du, c'+c''du. 
Donc les cosinus directifs de la binormale sont proportionnels aux binômes 
b'c'’ Dar c'b”?, c'a’’ 2. a'c”’, a'b!’ ts b'a/'; 
etc. 
