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Cela posé, considérons les deux lignes de courbure MC, MC! 
qui se croisent en M. Pour ce point, v — 0; donc 
D°=A—I(), N—0. 
L'équation (16) se réduit à 
dv? — du? — 0. 
Celle-ci exprime le théorème suivant, qui n'a peut-être pas 
été remarqué : 
Les lignes de courbure de la surface gauche, lieu des normales 
principales d’une courbe GC, rencontrent la directrice sous un 
angle de 45°. 
La réciproque est vraie : 
Si les lignes de courbure d’une surface gauche coupent, sous 
un angle de 45°, une trajectoire orthogonale des génératrices, ces 
droites sont les normales principales de la courbe. 
En effet, Æ 1 étant les racines de l'équation (16) (*”*), on doit 
avoir R — 0, ou 
V'(b'e— cb} = 0. 
D'ailleurs, <e 
D at = Ù 
Or, ces équations sont vérifiées par 
Rio ho, ie Ro 
Done les cosinus directifs de MP sont proportionnels à 
UM NLRENCIE 
Addition. — (Mai 1885.) 
V. Lorsque v—0, N—R, D— 1; et l'équation (16) se 
réduit à 
Mdv° + Rdu dv — Mdu° = 0. (17) 
(‘) A cause de 
a?+b?+c* = |. 
(*) Il est visible que, pour v = 0, É représente la tangente de l’angle 
formé par la tangente MT et la ligne MC. 
