On tire, de l'équation (5), 
12 __ ÿ 2 ë | 
b Tr — gh); (8) 
puis, de l'équation (6), 
D = 2. (a — gh). (9) 
a 
Ces valeurs, substituées dans la relation (7), donnent celle-ci : 
nes, | (10) 
On en conclut 
2 
GR 
nr 
de sorte que les formules (9), (8) deviennent : 
Le (10) 
b 
b—+Ef() (11) 
Enfin, comme f + g — h, on a encore 
ba? — h°) &QhE — b?) 
Pme oies (4) 
Les valeurs de /, g, a’, b' étant réelles et finies (**), le théorème 
de M. Chasles est démontré. 
Il. Remarque. — Les calculs que nous venons de développer 
démontrent, en outre, la propriété suivante : 
(") Pour fixer les idées, supposons a et b positifs. Alors, d’après l’équa- 
tion (1), chacune des branches de l'ovale est une courbe fermée. Done, 
dans l'équation (2), a’ et b’ doivent être positifs. Alors, si a surpasse b, 
le segment f est positif. Dès lors, dans la formule (11), on doit adopter le 
signe supérieur. 
Nous ovmettons la discussion complète, un peu longue. 
("*) Excepté si a=Æ+b; mais alors la courbe donnée est une ellipse ou 
une hyperbole. 
