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2 Elles sont convergentes lorsque 
1 
D, =SE == 
‘ Did 
k étant une constante positive; 
3° Elles sont divergentes si cette constante est nulle. 
CXVI. 
Problème sur l’ellipse (*). 
(Mars 1854.) 
Parmi toutes les ellipses circonscrites à un quadrilatère, quelle 
est celle qui diffère, le moins possible, d'un cercle; c'est-à-dire : 
Quelle est l’ellipse, passant par quatre points donnés, dans 
laquelle le rapport des axes soit maximum ou minimum ? 
I. L'équation de toutes les coniques passant en A, B, C, D est 
2hxy + ab(y — c)(y — d) + cd(x — a)(x — b) — abcd = 0 (*), (1) 
À étant un paramètre arbitraire. 
Si nous transportons l'origine au centre Ï, cette équation 
devient 
2axy + aby° + cdx° —F. (2) 
Les équations du centre sont, comme on sait : 
2x6 + cd(2« —a—b)=0, 22 + ab(28—c—d)—0. (5) 
La distance «, d’un point de la courbe, au centre I, est donnée 
par la formule 
= à? + ÿ° + 2xy cos 6. (4) 
Pour exprimer que le rayon w est maximum ou minimum, on 
doit joindre, aux équations (2), (4), l'égalité 
TX + YCOSÈ Y + XCOSO 
(5) 
Ay + cdx TN ag aby 
(‘) Proposé dans les Annales de Gergonne (t. XVII, p. 284); résolu par 
Steiner (Journal de Crelle, t. A, p. 125). 
(‘*) Manuel des Candidats à l’École polytechnique, t. 1, p. 477. 
