IV. Lemne III. —— Étant donnés un cercle C et une droite XY, 
on projette le centre C en O; puis l’on mène la tangente OA, et, 
d’un point quelconque M de XY, la tangente MT. Cela pose, 
MT —04 —OM (}. 
V. TnéorÈmE Î. — Soit une surface S, engendrée par une cir- 
conférence C, dont le plan contient une droite donnée, XY, et dont 
le centre se meut dans un plan P, perpendiculaire à XY. Si cette 
circonférence, dans toutes ses positions, est orthogonale à une 
sphère donnée, À, dont le centre soit le point O où XY perce P : 
1° Les circonférences © forment, relativement à S, un premier 
système de lignes de courbure; 
2° Les secondes lignes de courbure sont déterminées par des 
sphères ayant leurs centres sur XY (**). 
Démonstration. — 1° Représentons par R le rayon de la 
sphère Z, par o le rayon (variable) de la circonférence C. 
La condition d'orthogonalité est, évidemment, 
=0C —R?; 
C désignant le centre de la circonférence génératrice (**). 
Si, comme on le suppose, cette condition est remplie, l’intersec- 
tion de S et de Z est une ligne de courbure de S. (Lemme Il.) 
2° Soit Z’ une sphère ayant son centre M sur XY, et dont le 
rayon R' soit donné par la formule 
R?— R° + OM. 
D'après la réciproque du Lemme ILE, cette sphère ©’, dont le 
rayon ne varie qu'avec la position du centre, est orthogonale à 
toutes les circonférences C. 
3° Les intersections de S, par les sphères 2, Z’..., sont done 
(‘) Cette fois, nous supprimons la démonstration. 
(**) Ce théorème renferme, comme cas particuliers, diverses propositions 
connues. 
(‘**) Ainsi, le lieu des centres est arbitraire. 
