(145) 
CXXIX. — Sur Iles lignes de courbure planes. 
(Juillet 1873.) 
I. Je rappellerai, d’abord, ce théorème général (*) : 
Soient ab, a'b', ab”, … les sections faites, dans une surface S, 
par des plans P, P', P”, … ayant une enveloppe E. Soient AB, 
A'B" … ce que deviennent ces lignes lorsque les plans mobiles, 
ayant roulé sur E, viennent se confondre avec un même plan 7, 
tangent à E. Soient enfin CD, C'D', CD”, … les trajectoires 
orthogonales de AB, A'B', AB", … Si le plan x s’enroule autour 
de E, de manière à prendre les positions P, P', P”, …., les suRrAcES 
D'ENROULEMENT X, 2’, 2”, …, engendrées par CD, C'D', C’D”, … 
coupent S suivant des lignes cd, c'd', c"d”, …, trajectoires ortho- 
gonales de ab, a'b', a”b”, … 
IT. Supposons que les courbes planes ab, a'b', ab”, … soient 
des lignes de courbure de S. Alors les secondes lignes de cour- 
bure sont les trajectoires cd, c'd', c’d”, …, dont il vient d’être 
question. Comme je l’ai fait observer dans le petit Mémoire cité, 
la détermination de ces nouvelles courbes se réduit à la 
recherche des lignes planes CD, C'D', CD”, … : le premier pro- 
blème, appartenant à la Géométrie de l’espace, est ramené à un 
problème de Géométrie plane. 
Si l'équation différentielle des courbes AB, A'B', …, rabatte- 
ments des premières lignes de courbure, dans le plan 7, est 
Mdx + Ndy = 0, 
et que l’on puisse intégrer 
Mdy — Ndx — 0, 
les surfaces d’enroulement, contenant les secondes lignes de 
courbure, seront connues. 
(‘) Bulletin de l’Académie (février 1872). Voir aussi les Remarques sur 
la théorie des courbes et des surfaces (Mém. in-8°, 1875). 
