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Addition. — (Janvier 1886.) 
III. Remarque. — La solution précédente est en défaut 
lorsque S est une surface d’enroulement. En effet, dans ce cas, 
les lignes de courbure ab, a!b', …, égales entre elles (*), ont 
pour rabattement, sur le plan 7, une courbe unique AB. 
Mais, quand il en est ainsi, les secondes lignes de courbure ed, 
c'd',.…, sont des trajectoires orthogonales des plans P, P',P”,...("*). 
IV. Supposons que l'enveloppe E se réduise à un cylindre. 
Alors chacune des courbes cd, ed’, … est la développanie d’une 
section droite de ce cylindre. Les plans de ces lignes, au lieu 
d’être tangents à un cylindre, sont parallèles entre eux, contrai- 
rement à un théorème connu. 
V. Une proposition de Monge. — On lit, dans l'Application 
de l'Analyse à la Géométrie (***) : 
« Mais un plan ne peut être susceptible d’une seule série de 
» positions, et être mobile d’une manière plus générale que de 
» rouler sur une surface développable quelconque : done il n'y 
» à point d'autre surface qui jouisse de la même propriété; 
» donc la surface engendrée est définie d’une manière complète 
» lorsque l’on énonce qu’une de ses lignes de courbure est 
» constamment plane. » 
Le sens naturel de la dernière phrase est, semble-t-il, eelui-et : 
Toute surface qui admet un système de lignes de courbure planes 
est une surface d’enroulement. Mais cette proposition est fausse. 
L'illustre auteur a-t-il supposé, tacitement, que les lignes de cour- 
bure considérées sont égales? Alors son théorème équivaudrait à 
celui-ci, dont la démonstration, si elle est possible, est peut-être 
difficile : | 
Toute surface qui admet un système de lignes de courbure 
planes, égales entre elles, est une surface d’enroulement. 
(‘) Remarques sur la théorie, p. 15. 
(1) Loc. cit. 
(‘**) Édition de Liouville, p. 330. Il s’agit de la surface dont toutes les 
normales sont tangentes à une même développable, c'est-à-dire d’une surface 
d’enroulement. 
