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Nous croyons donc pouvoir énoncer ce théorème : 
Soient 
f(x, y, z)=a, fi(x, y, 7) =6 
les équations d’une infinité de lignes. trajectoires orthogonales 
des surfaces S représentées par F(Xx, y, Z) —c. Pour que ces 
surfaces puissent faire partie d’un système orthogonal triple, les 
dérivées partielles E. e , … doivent, après l'élimination de x, y, 
satisfaire aux équations (8), dans lesquelles les quantités À, B, C, 
À, u, y sont indépendantes de z (*). 
V. Au moyen des valeurs (8), l'équation (5) devient 
(A + 22) —(B + pZ)(0' + #°) + (C + »Z)Ÿ'r — 0. 
Cette équation de condition, devant avoir lieu quel que soit z, 
se décompose en 
A — B(' + x) + Chr —=0, à — w(d + 7) + dr — 0. 
Par conséquent, d' et n' sont les deux valeurs de ds satisfaisant 
à l’équation 
Bt Al (C4) E Ab Ba NE) 
DUMAS = —= 
(a TMC 
du premier ordre et du second degré. Une équation du premier 
ordre ayant toujours une intégrale, il s'ensuit que: St les condi- 
tions (8) sont remplies, il existe deux séries de surfaces 51, 3, 
formant, avec les surfaces S, un système triplement orthogonal. 
Les conditions (8), nécessaires, sont donc suffisantes (**). 
 (*) Quand l’équation donnée a la forme 
X+Y+Z=0, 
les égalités (8) conduisent, assez rapidement, aux conditions 
XXE RUES à) (XD) AE (0) (à 
LL" = 9212" — a)(7!— bd), 
trouvées par M. Serret (Journal de Liouville, t. XI). 
(‘*) Les doutes exprimés dans la Note insérée aux Comptes rendus 
