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CXXX VI. — Sur une intégrale pseudo-elliptique (‘). 
I. Une lettre de Fuss à Condorcet, rappelée par M. Darboux (**), 
contient le passage suivant : 
. La formule intégrale 
e dx VA + x La 
% RE TEE 
» qu'il (Euler) observe pouvoir étre rendüe rationnelle (***) 
» moyennant la substitution singulière 
RM + p° + \/1 — p° 
pv 
» quoiqu'il ait cru autrefois qu'il soit impossible de la réduire 
» à la rationalité par quelque substitution que ce soit, parce 
» qu'il en pouvoit (") exprimer l'intégrale par des logarithmes 
» et des arcs de cercles. » 
Je vais montrer, dans cette courte Note, que la substitution 
employée par Euler, au lieu d'être singulière, est, pour ainsi 
dire, forcée, en ce sens qu'elle est la résultante de plusieurs 
transformations simples et connues. 
Il. Soit 
LAIT 2e 5 
f° Si l’on fait 
1 
x —t85p(), (2) 
(‘) Nouvelle Correspondance mathématique (1880). À propos d'un travail 
de M. Hermite, publié dans le Journal de Resal, t. VE, p. 5. 
(”) Bulletin des Sciences, mai 1879, p. 226. 
(”*) C’est, bien entendu, {a différentielle qui peut être rendue rationnelle, 
_ Plus loin, nous reviendrons sur ce mot. 
() Lecenpre, Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. 9. 
