(219) 
Il résulte, de ces valeurs : 
k » alX = v > ax — u? > ædl (*), 
kŸ ad = Ÿ sdx — v Ÿ «dl. 
(18) 
Désignons par & le premier membre de l'équation (16). D'après 
les deux dernières formules, 
HUE 
rer ; 
ou 
pp — (® + E)v + u° — 0. 
D'un autre côté, l'équation (16) devenant 
2 
il résulte, de celle-ci : 
vdu — udv 
Q=U —— : 
udu — vdv 
On a donc ce théorème : 
(20) 
La même fonction 9, is ( u e = pour les lignes de courbure 
vdu — 
de S, devient égale à ÈS ur Es lignes de courbure de S: 
() On a 
Fan k(vdx + xdv — u*dl — 2udu) — (vx— lu?) dk. 
— = 2 
donc 
22 D» adX = Ÿ (ny — mz)(vdx + xdv — u?dl — 2udu) 
dk 
2 Ÿ (ny — mz)(vx — lu?) ; 
et, en négligeant les sommes évidemment nulles : 
1e Ÿ ax = vY (ny — mz)\dx — u? DIT ny — ms)dl, 
kT 4ax = 0 Ÿ sax — uw Ÿ sd. 
Ainsi u, v, k se comportent comme des constantes. 
ou 
Le développement de 4Z «d[, donne lieu à la même remarque 
