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ou, ce qui est équivalent : 
Am Û , 4 du n 5 
La même fonction +, égale à u = pour les lignes de courbure 
e 14 A d C— d , 
de s, devient égale à u ÈS pour les transformées, sur s, des 
lignes de courbure de S. 
En effet, un point M de S, et son conjugué m, ont mêmes 
coordonnées 4, v. 
V. Remarque. — L'équation (19) étant symétrique par rapport 
aux fonctions ®, ®, les lignes de courbure de s sont représentées, 
indifjéremment, par 
udu vdu — udv 
D=—, pu ———; 
dv udu — vdu 
et les lignes de courbure de S, par 
udu vdu — udv 
D = U ——— : 
dv udu — vdv 
VI. Surface des ondes. — Soient, pour abréger : 
U—=(u— a*)(u—b)(u—0), NV ={(v—a)(0"—b°)(v—0c°). (21) 
Dans le cas où s est un ellipsoïde, nous avons trouvé (HD) : 
u* kuv‘du + Nuvdu — ka*b'cdv 
7 Pusvdu + Uvdo — Fa be dv 
Donc les lignes de courbure de la surface des ondes sont 
représentées par l'équation 
u (vi + Njuvdu — Kab’cdv vdu — udv 
0 Ruvdu + (Uu? — Kab'c?)dv  udu — vdv 
que l’on peut réduire à 
Vaudu® —[(Uv* + Vu”) v°+k{(ab°c —u°v")]dudv+ Uuv'dr®—0. (22) 
Celle-ci, dont la forme est symétrique, parait néanmoins diffi- 
cile à intégrer, même quand l’ellipsoïde s se réduit à un cylindre 
ou à une ellipse (*). 
(*) Dans ce second cas particulier, la surface S, représentée par 
(ax? + by?) (x? + y? + 3?) — ab?(x? + ÿ)=0, 
est une cyclotomique à directrice rectiligne. (Note XLI.) 
