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Soient N,, N,, N, les trois normales, au point #. En désignant 
N_ + par p la distance du centre au 
9 ze 
plan tangent, en m, à l'hyper- 
boloïde, on trouve : 
) 
cos (N,. N,) Sat ? 
V'v + p° 
N.,N) 5 
cos (N, a . 
Va Vo + p° 
Prenons, pour plan de la figure, celui qui est normal, en m, 
à la ligne de courbure. Supposons le centre O projeté, en net 
en k, sur les normales N,, N, : mn = v, mk — p. Si l’on achève 
le rectangle, on a 
D v 
cos Omk = — » COS Onn = —— 
v + p° Var + p° 
donc la normale N,, au cône, est perpendiculaire à Om. 
Cette simple remarque donne lieu au théorème suivant, qui 
complète une proposition due à Lamarle (*) : 
1° Si, par le centre O, l’on mène des plans P, parallèles aux 
plans tangents à l’ellipsoide E, en tous les points d’une ligne de 
courbure L, le cône C, enveloppe des plans P, coupe E suivant une 
ligne sphérique : le rayon de la sphère est le paramètre g de 
l’hyperboloïde sur lequel la ligne L est située ; 
2 La génératrice de contact, entre le plan P et le cône, est 
parallèle à la normale N, à l’hyperboloïide (*”). 
(*) Si du centre O de (E) on méne des plans tangents à cette surface menés 
» des différents points d’une ligne de courbure (m), ces plans enveloppent un 
» cône du 2° degré qui coupe (E) suivant une ligne sphérique. » (MANNHEIM, 
Congrès du Havre.) 
(*) M. Mannheim a déduit son théorème de celui de Lamarle. Du reste, 
les deux propositions n’en font réellement qu'une, en vertu du Lemme 
suivant : 
Soient une surface développable È et un cône Ÿ,, ayant leurs génératrices 
respectivement parallèles. Soient, sur ces deux surfaces, L, L, les trajectoires 
orthogonales des génératrices : les tangentes MP, M,P,, en deux points cor- 
respondants, sont parallèles. 
