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CL. — Un théorème d'Ampère. 
(Septembre 1875.) 
« Si l’on réunit toutes les fractions continues qui, réduites 
» sous la forme la plus simple, donnent s pour somme de leurs 
» quolients entiers, le nombre de ces fractions sera égal à 2°7"(*).» 
Le dernier quotient entier (ou incomplet) ne pouvant être 1 (*), 
à moins que la fraction égale 1, la question ne diffère pas de celle-ci: 
Combien l'équation 
Li + La + Ls He + LE, —S 
admet-elle de solutions en nombres entiers, avec la condition que x, 
surpasse 1? 
Soit À, ce nombre de solutions. 
1° Il est visible que A, = 1. 
2° Des identités : 
S—Ss—1 +(s—1)—2 +(s— 2) — .. —(s — 2) + 2, 
on conclut la relation 
| A,—1+A,, + A, +: + À; 
puis, de celle-ci : 
Al +A, + -. + A. 
Donc, par soustraction, 
A, = 2A,_4. 
Ainsi, les nombres A3, A3, … À, forment une progression, : 
dont la raison est 2. Et comme A9 — 1 : 
A, 9: 
(‘) Correspondance mathématique de Quetelet, t. IX, p. 145. Cet énoncé 
n’est pas très clair. Voici comment je l'interprète : Combien y a-t-il de frac- 
tions continues (de la forme ordinaire) dans lesquelles la somme des quotients 
incomplets soit s? 
(‘*) En effet, 
Do = GES 
