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Ainsi, l'équation réciproque 
/ (9 
(n + 1)(n + 2) Ra 
x" + 3x2 + Gr + co nt 2 
2 (4) 
+ Ga + 5x° + 1 — 0, 
dans laquelle les coefficients sont les nombres triangulaires, n’a 
aucune racine réelle. 
IV. Soit X,, le polynôme formant le premier membre. Il est 
facile de voir que 
Xe (2 + 2 + + à + AP + 2° X,, 4. (b) 
En effet, le développement du carré est, comme on sait : 
in 
FD CS OR RE RS OR 26e De Rec Or EN 
Donc, en identifiant les deux membres, on retrouve les égalités 
connues : 
DA 2, 065,406 EU) MAO EI56 0 
V. Si l'on part de 
X;— 2° + 52 + 1 = (2° + 1) + x’, 
on obtient, au moyen de la formule (5) : 
Xe = 2n 2n—2 PS 2 1}? 
Xe = (2 + a" + ee + x + 1) | (6) 
2 
SF Abe 27 x?""# + ve. + x° = 1) + sat go {x + 1) Fa x", ( 
Ce polynôme, étant la somme de plusieurs carrés, ne peut s’an- 
nuler pour aucune valeur réelle de x. La proposition primitive 
est donc vérifiée (*). 
(‘) Au moyen de cette relation (6), et de l’équation (4), on pourrait 
démontrer la formule connue qui donne la somme des carrés des nombres 
nalurels. 
