( 267 ) 
IT. Dans l'identité 
x +1 (a+ 1) (a + rV3+ 1) (x? — x V5 + 1), 
faisons 
Elle prend la forme 
SUH5 “ 1 == (Gite se 1) (5271 + 5r1 + 15 — 311 = 1) (D) 
Ainsi, le cube de 53**"', augmenté de l’unité, est décomposé 
en trois facteurs entiers. Par exemple : 
(27° + 1) — (27 + 1)(27 + 9 + 1)(27 — 9 + 1). 
Il est clair que le nombre des relations, analogues à LB); (C), 
(D), est indéfini. 
IV. Le premier membre de (C) étant une somme de deux 
carrés, chacun des facteurs du second membre doit être, égale- 
ment, une somme de deux carrés. 
En effet : 
AH LL DH LE 1 — (2: Æ. 1} Ne ap 
92k+1 LL 9k+1 se 1 — (@E Luis 1} 22 (25 
V. Si, pour abréger, on fait 2 — x, on a encore : 
1 
QI LE DH LE 14 — 97? + 9x + À — 5 Lx 1) & 1}, 
1 
D niet) et); 
puis 
1 
2 + 1 — ; Lex + 1) + 1][(2x —1ÿ +1], 
ou 
1 
hat +1 fx + 1 + 1][@x —1Ÿ + 1]: (E) 
identité évidente et connue (*). 
(*) Manuel des Candidats, t. 1, p. 51. Il en résulte que la recherche 
des facteurs premiers de 2? + 1, se réduit à celle des facteurs premiers, 
soit de (2x + 1)? + 1, soit de (2x — 1} + 1. 
