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CXCVIII. — Lignes géodésiques d’un parabholoïde. 
(Mai 18385.) 
I. Soit le paraboloïde hyperbolique représenté par 
Z — xYy. (1) 
En appliquant la méthode de Joachimstal, on trouve, comme 
équation différentielle des lignes géodésiques de cette surface : 
COMTE d d 
S RUE @) 
DEN 2 dy A+x+y 
Une intégrale première est 
ds = c(1 + x° + y*)dxdy; 
ou, à cause de 
ds = (1 + y*)dx? + 2xydxdy + (1 + x°)dy* : (5) 
dy En EU) 
ESF EUR 
IL. L'équation générale des lignes géodésiques : 
2 
dy dy UE | | 
1 2 6 ——— fn —— D — D — | —= 0 É ,; 
Gepee [real ds | Dr () 
se réduit, dans le cas actuel, à 
U+ a+ y)y" + 2x — yy)y = 0. (5) 
Cette équation (5) ne doit pas différer, au fond, de l’équa- 
tion (2). Et puisque celle-ci admet l'intégrale (4), il en doit être 
de même pour l'équation (5). | 
En effet, si l’on différentie l'équation (4) et qu'on supprime 
le facteur 
1+yÿ— (+ x)y", 
on trouve l'équation (5). 
(*) Suivant l'usage, la même lettre s représente un arc et une dérivée 
partielle. Mais aucune confusion n’est possible. 
