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Conséquemment, le premier membre de celle-ci devient une 
dérivée exacte, quand on le multiplie par la quantité 
L+ÿ—(1+ x)y" 
TEE 
 €XCIX. — Problème d’Algèbre ct d’'Arithmétique. 
(Novembre 1881.) 
[. Soit p un nombre premier, supérieur à 2. On forme la 
quantité 
DHDEN | 
X — 
— (x —1}—! 
x — 1 ( ) 2 
réductible à Ppx, P désignant un polynome entier, à coefficients 
entiers. Dans quel cas P est-il un carré (*)? 
Lorsque p — 5, on trouve P — 1 ; et, lorsque p —7 : 
P = 2° — 22° + 52° — 9x + 1 — (x — x + 1}. 
Soit, s’il est possible, P — Q? une autre solution du problème, 
de manière que 
x? — 1 
ne (| (1) 
Si, dans cette égalité (1), on fait x — 2, le polynôme Q devient 
un nombre entier N, et l’on a 
2 —_ 9 — 9pN, 
ou 
RE (2) 
Or, cette équation (2) n’est vérifiée que par 
DEN ND ET ONE 510) 
(‘) Cette question se rattache à la célèbre formule de Gauss : 
æP— 1 
4 = Ep, 
sur laquelle nous reviendrons. 
(*) Maruesis, t. III, pp. 41 et 80. 
