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CC. — Sur un théorème de M. Delbœuf. 
(Septembre 1886.) 
I. Dans le dernier numéro de la Revue scientifique, le savant 
professeur à l'Université de Liège donne, sans démonstration, un 
théorème sur la divisibilité des nombres, que l’on peut énoncer 
ainsi : 
Étant donné un nombre entier N, on le décompose en deux 
parties aa’, bb’ telles, que les facteurs a, b soient premiers entre 
eux, et que les facteurs a', b' soient, aussi, premiers entre eux. 
D’autre part, x, x’ étant deux nombres entiers, pris arbitraire- 
ment, on cherche quatre nombres entiers, À, À’, B, B’, satisfaisant 
aux conditions 
Aa + Bb—Nx, A'a + A'b'—Nx!. 
Cela posé, on a 
AA' + BB'— JUN). 
Des relations 
aa’ + bb'—N, Aa + Bb — Nx, 
on déduit : 
a(A — ax) + b(B — b'x) — 0; 
puis, 
A— ax +06, B—b'x — a; (1) 
@ étant un entier quelconque, positif ou négatif. 
De même, 
A'— ax’ + b'e, B'—bx — «6. (2) 
Par conséquent, 
AA°+ BB'— N(xx’ + 06). (5) 
IT. Remarque. -— Si N = f? + g? (*), prenons, 
(") Ce qui arrive, par exemple, lorsque N est un nombre premier 4u +1. 
Voir la Note précédente. 
