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Les lignes de courbure sont donc représentées par cette 
équation (B), du premier ordre et du second degré ; ce qui devait 
être. 
IL. Interprétation géométrique. — AB étant une ligne de cour- 
bure, ayant MS pour tangente; 
soit CD l’arête de rebrousse- 
ment de la normalie dont MT 
est une génératrice. Les cosinus 
directifs de MT sont propor- 
tionnels à À, B, C (*). Si done 
TN est la binormale à CD, les 
cosinus directifs de cette droite 
sont proportionnels à 
BdC — CdB, CdA — AdC, 
AdB — BdA. 
L'équation (A) exprime que 
les droites MS, TN sont per- 
pendiculaires l’une à l'autre. Et comme MS est perpendiculaire 
à MT, la tangente MS, à la ligne de courbure, est perpendiculaire 
au plan rectifiant MTN ; ou, ce qui est équivalent : 
La tangente MS, à la ligne de courbure AB, est parallèle à la 
normale principale TI de la courbe CD, arête de rebroussement 
de la normalie déterminée par AB (**). 
N 
(‘) Formules (7). 
(**) Le Calcul différentiel, de M. Bertrand, ne signale point cette pro- 
priété. Dans celui de Serret, on lit (p. 487, 1868) : « Ainsi, pour qu’une 
» courbe donnée, tracée sur une surface, soit ligne de courbure de cette 
» surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe en chaque point 
» soit parallèle à la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus 
» sont proportionnels aux différentiellés 
» dcos x’, dcosB, dcosy’, 
» a’, f”, >’ étant les angles formés avec les axes par la normale à la sur- 
» face. » L’Auteur ne semble point s'être aperçu que la droite en question 
est NI. (Octobre 1886.) 
