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Les équations (3), ou leurs intégrales (4), représentent deux 
séries de lignes L : res lignes sont situées sur les surfaces $, 
c'est-à-dire qu'elles en sont les génératrices. 
En effet, les cosinus directifs de la tangente T, à L, au 
point (x, y, z), sont, d’après les équations (3), proportionnels 
aux binômes 
dZ  dY dx dZ dY dx 
ay  dz dz dx dx dy : 
D'autre part, les cosinus directifs de la normale N, à S, sont 
proportionnels à X, Ÿ, Z. Or, l'équation (4) prouve que ces 
deux droites sont orthogoneies. En d’autres termes, la tangente T 
est située dans le plan tangent à S. 
Addition. — (Octobre 1886.) 
VII. Conditions d’intégrabilité. — Soit l'équation à quatre 
variables : 
Tdt + Xdt + Ydy + Zdz —0. (14) 
Si l’on exprime que le produit du premier membre, par un 
facteur À, est une différentielle exacte, on trouve les conditions 
connues : 
ee 2e (15) 
HENN C107 CZ dy dt : 
K a Et (16) 
PAT de dent \ae dx ; 
" = i+ ne (17) 
door GO NUE \de dy 
VIIT. Remarques. — 1° Les équations précédentes se déduisent 
les unes des autres, par une permutation tournante. Si l’on 
continue cette permutation, on trouve une quatrième condition 
(surabondante) : 
_ = 
Z 
_ . AZ _ dx 
X | + Y 
dy dx 
d'OS — (. 18 
dz dy (5 
(‘) Dans son grand Traité (t. II, p. 516), Lacroix donne les équa- 
tions (15), (17), (18); mais non l'équation (16). 
