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donc les inégalités (3) équivalent à celles-ci : 
ax Der = (E 
ab”? 0 > ab (4). 
La différence entre les deux limites de © est —* Consé- 
C 
ab 
- 5: C ; 
quemment, la partie entière de ab? cette partie entière aug- 
mentée d'une unité, indique le nombre des valeurs que l'on peut 
attribuer à 6. En d’autres termes : le nombre des solutions 
positives de l'équation (1) est égal à l’un des deux quotients 
entiers de c par ab (*). 
Addition. — (Septembre 1865). 
Considérons d'abord le cas où ç serait un multiple de 
ab : ce — avq. On peut prendre Ê — 0, à = by; et il est 
clair, par les formules (2), que © peut recevoir les q + 1 
CUT ROUE EE RER ne 
En second lieu, supposons c = abq + c', c' étant positif 
et moindre que ab; puis, prenons simultanément les deux 
équations 
ax + by = abq + c! (A), 
ax! + by! = c! (B), 
qui donnent celle-ci : 
a(x—#)+6b(y—7y)= ab) MON 
(*) Ce petit théorème, que je trouve dans mes notes de 1839, est souvent 
attribué à M. Hermite. J'ignore si ce profond géomètre, que je m'honore d'avoir 
eu pour élève, l’a publié quelque part. 
(**) A vrai dire, les solutions æ = 0, y = ag; æ = db, y = 0 ne sont pas 
essentiellement positives ; néanmoins on peut les compter, parce qu’elles sont #07 
_ négatives. É 
