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Si l'équation (B), qui ne peut avoir plus d’une solution 
positive, en a réellement une, nous aurons, en désignant 
par 2!, B', ces valeurs positives de x', y' : 
y—$ = a9, x— a — bq — 08; 
ou 
y=f+a0, x = + b( —06) (D). 
À cause de c! < ab, on a 
SN PS D: 
donc les deux dernières formules donneront des valeurs 
postes selon ait 010; 17 2 7. g. 
Ainsi, quand l'équation (B) admet un système de valeurs 
positives, l'équation (A) en admet 4 + 1. 
Si l'équation (B) n'a aucune solution positive, on peut 
supposer, dans les formules (D), 
0Lf<£La, 0>#>—0b: 
ceci résulte des préliminaires de la théorie. Par suite, les 
seules valeurs admissibles pour 8 sont 0, 4, 2, 5,... q —1. 
Donc, lorsque l'équation (B) n’admet aucune solution positive, 
l'équation (A) en admet seulement q. 
En résumé : do Si c—qab, l'équation 
ax + by =0c 
admet q + 1 solutions non-négatives ; 2 Si c = qab + ©, cette 
méme équation admet 4 + À ou q solutions positives, suivant 
que l'équation auxiliaire 
ax! + by = c! 
a ou n’a pas de solution positive. 
