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DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME RELATIF À LA THÉORIE DES NOMBRES. 
(PAR M. HOUSEL. ) 
Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 ei 9, ne 
peuvent être des puissances exactes. 
I. Cette proposition, énoncée depuis longtemps par M. Ca- 
talan, consiste en ce que l'équation 
1 ae ne En (1), 
véritiée pour à —2,Db—3,n— 3, 1Mm— 2, ne pEutMlERMrE 
pour aucun autre système de valeurs entières et positives. IL 
est bien entendu que l’on exclut les cas où un de ces quatre 
nombres serait égal à zéro ou à l’umité. 
Pour démontrer ce théorème, nous devons chercher 
quelles relations peuvent s'établir entre ces nombres @, D, 
m, n d’après la nécessité à laquelle ils sont soumis d'être en- 
tiers et positifs, condition qu'il faut joindre à l'équation (1). 
En appliquant cette condition, l’on sera conduit à une égalité 
qui remplacera cette équation (1), autant que cela sera néces- 
saire , puisqu'elle en admettra toutes les solutions entières 
et positives : elle devra done, en particulier , être vérifiée 
par les quatre nombres indiqués. S'il en arrive autrement 
pour une égalité à laquelle nous aurons été conduits, il fau- 
dra par conséquent la rejeter comme ne pouvant représenter 
l'équation (1); c'est que nous aurons été entraînés hors de la 
question par une hypothèse faite provisoirement et qu'il fau- 
dra dès lors abandonner. 
Enfin nous pourrons toujours supposer que m et n sont 
premiers. Si l’on avait, par exemple, m»® = m'm/", on poserait 
HO 22 ml \mmll 
b ro (b ] , 
et l’on prendrait b' = pb” pour point de départ, au lieu de b. 
